Nata a Parma nel 1910 si laureò con Bruno Rossi in fisica nel 1931 all’Università di Firenze. Qui restò come assistente alla cattedra di fisica sperimentale e svolse ricerche assieme a Giuseppe Occhialini ed allo stesso  Rossi, occupandosi di microscopia elettronica nel centro di Arcetri. Nel 1937 ottenne l’abilitazione alla libera docenza in fisica sperimentale, procurandosi altresì l’incarico di chimica fisica presso l’Università di Perugia. L’anno seguente passò a far parte dei laboratori di fisica dell’Istituto superiore di sanità in veste di coadiutrice straordinaria dove, al fianco di Giulio Cesare Trabacchi, proseguì ad occuparsi di microscopia elettronica per applicare alla fisica medica le conoscenze conseguite a Firenze ed implementare la ricerca scientifica nel campo della salute pubblica. Quando nel 1958 la direzione dei laboratori di fisica passò a Mario Ageno, Daria  divenne vice-capo dei laboratori e capo del reparto di microscopia elettronica. Terminò la sua carriera nel 1975, continuando a vivere nella capitale. Nel 1987 fu insignita dall’Accademia nazionale  delle scienze detta dei XL del premio Domenico Marotta per la ragguardevole attività svolta presso l’Istituto. Daria Bocciarelli si è spenta a Roma nel 2007.

Il connubio fra l’Istituto fisico di Roma e il laboratorio di Arcetri alla fine degli anni Venti diede vita ad una campagna sperimentale indispensabile a disvelare le dinamiche nucleari: la scoperta del neutrone prima, annunciata a Roma nel 1931, della radioattività artificiale indotta da particelle alfa, deutoni e protoni , nonché l’osservazione, nel 1934, della radioattività prodotta da neutroni in campioni di fluoro e alluminio sancivano il lavoro svolto dai fisici italiani, in grado di intraprendere, nonostante gli scarsi mezzi finanziari, un nuovo decisivo percorso d’indagine. Daria Bocciarelli entrò a far parte dell’Istituto di fisica sperimentale dell’Università di Firenze nel 1931 dedicandosi alla microscopia elettronica. Sul colle di Arcetri collaborò con Gilberto Bernardini, Giuseppe Occhialini, Giulio Racah e Bruno Rossi. Accogliendo il lavoro di Walther W. Bothe e Werner Kölhorster, i fisici italiani, con il metodo delle coincidenze, ponevano in serio dubbio la teoria dominante che attribuiva ai raggi cosmici natura elettromagnetica. A questo proposito furono intraprese nel laboratorio fiorentino ricerche mediante contatori Geiger-Müller tra l’autunno del 1929 e la primavera dell’anno successivo: Bruno Rossi e Daria Bocciarelli si occuparono della costruzione di alcuni geiger e dell’elettronica di supporto per la rivelazione dei raggi cosmici e migliorarono di un ordine di grandezze la risoluzione temporale ottenuta da Bothe e Kölhorster, introducendo il circuito a coincidenze.Quando Rossi, nel 1932, si trasferì all’Università di Padova dopo aver vinto il concorso a cattedra, la ricercatrice emiliana continuò a collaborare con Occhialini portando avanti un’intensa indagine sperimentale sulle sostanze debolmente radioattive per le quali furono impiegati ancora contatori Geiger-Müller. I problemi nascevano dal fatto che in simili esperienze non era possibile ricorrere alle usuali analisi magnetiche dei raggi beta a causa della debole attività dei preparati. Era necessario a tal fine l’uso di sorgenti di piccole dimensioni, mentre elementi come il rubidio ed il potassio, con la loro debole attività, dovevano necessariamente presentare un’ampia superficie per offrire un’intensità misurabile. Occhialini decise così di ricorrere ad uno spettrografo costituito da un piccolo contatore Geiger-Müller a parete di alluminio spessa 7 μm, attorno al quale è disposta sullo stesso asse una superficie cilindrica rivestita al suo interno da un sottile strato di cloruro di rubidio; un semplice contatore telefonico doveva registrare gli impulsi appositamente amplificati provenienti dal contatore Geiger-Müller. Parallelo all’asse del cilindro veniva generato un campo magnetico e, aumentando la sua intensità, diminuiva progressivamente il numero degli elettroni di decadimento in grado di raggiungere il contatore: diventava in questo modo possibile ricostruire il loro spettro. A Daria  il compito di sfruttare tali procedure per il potassio, di cui analizzò lo spettro β (uno dei suoi lavori sarà presentato da Enrico Fermi all'Accademia dei Lincei). La giovane scienziata ricorse in primis al metodo delle coincidenze utilizzando due contatori a tubo con pareti spesse 7 μm, la cui pressione è tenuta sotto controllo da un recipiente di vetro; sperimentò l’utilizzo di un solo contatore, come avevano fatto  G. von Hevesy, W. Seith e M. Pahl nell’autunno del 1931; circondò il Geiger a pareti di alluminio spesse 2/10 di mm con una superficie cilindrica ricoperta di sali di potassio e pose vari schermi coassiali di alluminio per isolare lo spettro di assorbimento. Dal 1938, la Bocciarelli proseguì il suo percorso sperimentale presso l’Istituto superiore di sanità dove l’anno seguente, in collaborazione con G. C. Trabacchi,  E. Amaldi e F. Rasetti, realizzò un acceleratore elettrostatico Cockcroft-Walton da 1 MV da impiegare nella ricerca e nella produzione di sostanze radioattive artificiali per uso medico.