Ida rini nacque a Savona il 17 aprile 1920. Dopo la maturità classica conseguita a Roma nel 1937, seguì i corsi universitari di matematica avendo come docenti, tra gli altri,   Francesco Severi (analisi), Gaetano Scorza (geometria), Nicola Parravano (chimica), Mauro Picone (analisi superiore), Antonio Signorini (meccanica razionale). Quest’ultimo era stato chiamato dall’ateneo di Roma nel 1938 per sostituire Tullio Levi-Civita, radiato dall’università a causa della sua origine ebraica dopo la promulgazione delle legislazioni antiebraiche. Ancora studentessa, per assaporare almeno una parvenza di vita democratica, diventò membro della Federazione universitaria cattolica italiana (FUCI) e, in tale veste, fu incaricata da Enrico Medi (responsabile del settore fisico-matematico) di tenere due seminari aperti agli studenti di tutte le facoltà su «Il metodo scientifico» e sul «Principio di causalità e indeterminazione». Ebbe come compagna di corso, Francesca Bachelet, studentessa di fisica, che poi ha seguito con successo la carriera universitaria. Si laureò con lode nel 1941 sotto la guida di Signorini, discutendo una tesi che fu pubblicata sul «Bollettino dell’unione matematica italiana» sotto forma di una breve nota dal titolo Sulla composizione di spostamenti rigidi secondo Poincaré. Nel settembre del 1941 le fu assegnata una borsa di studio presso l’Istituto di Alta Matematica, fondato nel 1939 da Severi allo scopo di diffondere mediante corsi post-universitari e cicli di seminari e conferenze tenuti da scienziati italiani e stranieri i più innovativi indirizzi del pensiero matematico. L’anno seguente vinse il concorso a cattedra di matematica e fisica nei licei e, per qualche tempo, dal 1943 al 1948,  insegnò in alcune scuole superiori.  La sua carriera accademica iniziò nel 1948  quando ottenne dal MPI il comando a svolgere le funzioni di assistente   alla cattedra di geometria all’Università di Roma all’epoca tenuta da Enrico Bompiani. Sotto la sua guida, si dedicò a problemi di geometria differenziale,  nei campi allora più moderni, che si riveleranno molto utili nel seguito.Per motivi famigliari, nel 1950 si trasferì a Pisa ove il marito, Carlo Cattaneo, sposato nel 1942 e dal quale ebbe sei figli, era stato chiamato per ricoprire la cattedra di meccanica razionale dell’ateneo. Ella si giovò della stimolante atmosfera che regnava in quegli anni nell’ambiente matematico pisano, favorita dalla presenza di illustri personalità scientifiche internazionali chiamate da Aldo Andreotti ed Edoardo Vesentini, come André Lichnerowicz, Beno Eckmann, Charles Ehresmann, Shiing-Shan Chern, per appassionarsi ai problemi della geometria differenziale globale. In un’intervista rilasciata nel 2006 a Paolo Maroscia edita sul numero di dicembre del «Bollettino dell’Unione matematica italiana», ricorda che in quel periodo pubblicò tre scritti: due  sulle connessioni affini che risultano definite da una connessione lineare e da un operatore lineare detto operatore caratteristico della connessione affine  e un terzo in cui determinò  una classe di connessioni aventi gruppi di olonomia isomorfi  [P. Maroscia, 2006, pp. 394-395]. I risultati di tali lavori furono esposti nel giugno del 1957 all’Institut Henri Poincaré, su invito di Ehresmann medesimo; mentre la nota Sur une classe de connexions linéaires à groupes d’holonomie isomorphes, stampata nel 1958 sui «Compte rendus» dell’Accademia delle scienze di Parigi, è uno dei pochissimi lavori italiani riportato nella bibliografia del volume secondo del Kobayashi-Nomizu, Foundations of Differential Geometry.In seguito –  come lei stessa illustra – orientò i suoi interessi verso  le varietà quasi prodotto reale o complesso secondo l’indirizzo di Walker, Willmore e Spencer, la determinazione di invarianti topologici (caratteristica di Eulero-Poicaré) usando il teorema di Chern-Weil. E ancora,  l’estensione, sotto alcune restrizioni,  dei classici teoremi globali di Hopf e Bocher sull’esistenza di campi di vettori armonici e di Killing nel caso di metrica indefinita, ideali di automorfismi conformi simplettici, ricorrendo a un operatore di connessione secondo una definizione algebrica data da Koszul [P. Maroscia, 2006, p. 395]. Dal 1955 al 1959 tenne per incarico l’insegnamento di geometria differenziale all’Università di Pisa. Inoltre, quello di geometria analitica dal 1961 al 1969 nonché di geometria differenziale nel 1967-68 presso l’ateneo di Roma, ove era giunta nel 1960 per seguire il marito in occasione di un suo ulteriore trasferimento accademico. Nel 1971 vinse il concorso per professore straordinario di geometria bandito dall’Università di Lecce. Qui organizzò da subito e con successo un gruppo di ricercatori impegnati nei settori d’avanguardia della geometria differenziale. Convinta che il momento didattico e seminariale fosse intimamente connesso con quello dell’indagine e della scoperta, realizzò un’intensa attività convegnistica  nella quale coinvolse nomi di spicco: Thomas Willmore, Jean-Lois Koszul, Yvonne Choquet-Bruhat, André Lichnerowicz, Wilhelm Klingenberg, Abrecht Dold. Ricoprì pure la carica di direttore d’Istituto e di preside della Facoltà di scienze. Dopo una breve parentesi presso l’ateneo di Perugia (1973-74), nel novembre del 1974 ritornò in quello di Roma come professore ordinario di geometria e algebra presso la Facoltà di ingegneria, prima donna chiamata a ricoprire un posto di professore ordinario presso questa facoltà a Roma. Qui    ha  esercitato fino al 1990 quando è andata fuori ruolo. Negli anni 1980-82 ha tenuto pure per incarico un corso di geometria differenziale all’Istituto Nazionale di Alta Matematica, mentre dal 1987 al 1989 è stata altresì titolare di un corso alla Scuola di perfezionamento di «Teoria e metodi matematici per l’analisi e il controllo dei sistemi». L’abilità nell’organizzare workshop internazionali, nonché l’attitudine a costruire proficue collaborazioni scientifiche con colleghi sia ingegneri sia matematici sono state alcune delle note caratteristiche della sua attività romana. Nel corso delle lezioni tenute per gli ingegneri, cercò di enfatizzare il passaggio dal concreto all’astratto,  convinta  che l’ingegnere  debba essere capace di distinguere  gli elementi  essenziali di un problema. A tal fine introdusse  vari argomenti  innovativi, quali invarianti topologici in teoria dei grafi come apertura  verso la topologia combinatoria, oppure concetti legati  alle funzioni di matrici, in particolare esponenziali di matrici,  per poter essere  applicati  a sistemi differenziali autonomi. Questi argomenti  furono da lei poi sviluppati in vari libri.  Sotto questo profilo, si segnala la conferenza da lei tenuta al convegno su «Insegnamento e ricerca matematica nelle Facoltà di ingegneria», organizzato a Rimini nel giugno del 1979 dall’Unione matematica italiana, protesa ad evidenziare come sia necessaria per l’ingegnere una solida formazione anche teorica. È autrice di oltre cinquanta lavori scientifici tra articoli, note e monografie. Vive a Roma.

In un'intervista rilasciata nel 2006 a Paolo Maroscia alla domanda «hai avuto difficoltà particolari, come donna, durante la tua carriera, soprattutto agli inizi?», Ida ha risposto:

«Come donna rispetto agli uomini non ho mai avuto difficoltà particolari. Come madre, sì. Abbiamo avuto sei figli (una bambina purtroppo l’abbiamo persa a 4 anni) e durante tutta la mia carriera ho avuto la costante preoccupazione di equilibrare il tempo dedicato alla famiglia con quello dedicato alla ricerca. […] Mio marito mi ha sempre aiutato molto con i figli. Abbiamo passato lunghi anni in completa consonanza di valori e di ideali. Purtroppo è mancato nel 1979 e non ha potuto vedere la famiglia che cresceva. Attualmente ho 12 nipoti e due bisnipoti. Per me è una grande soddisfazione e gioia poter riunire tutti i miei figli con le relative famiglie».

(I. rini Cattaneo, in P. Maroscia, Intervista a Ida Cattaneo rini, «Bollettino dell’unione matematica italiana», s. VIII, IX-A, dicembre 2006/1, pp. 409-410).

«Costante preoccupazione della Prof.ssa rini Cattaneo è stata quella di trasmettere ai suoi studenti e ai suoi colleghi l’amore per la ricerca e il gusto per l’intuizione geometrica al di là del formalismo usato».

(Domenico Perrone, 1992. Riportato in P. Maroscia, Intervista a Ida Cattaneo rini, «Bollettino dell’unione matematica italiana», s. VIII, IX-A, dicembre 2006/1, p. 401).

Sur une classe de connexions linéaires à groupes d’holonomie isomorphes, «Comptes Rendus. Académie des Sciences Paris» 246, 1958, pp. 1145-1147.

Projections naturelles des tenseurs de courbure d’une varietè V_n+1 à métrique hyperbolique normale, «Comptes Rendus. Académie des Sciences Paris», 252, 1961, pp. 3722-3724.

Algebra di Lie e caratteristica di uno spazio omogeneo compatto, «Rendiconti dell’Accademia nazionale dei Lincei, classe di scienze fisiche matematiche e naturali», serie VIII, 54, 1973, pp. 406-411.

Idéaux des automorphismes conformes symplectiques, «Comptes Rendus. Académie des Sciences Paris», 283, 1976.

Global reduction of a dynamical system on a foliated manifold, «Journal of mathematical physics», 25, n. 10, 1984, pp. 2918-2921.

(con G. Romani), Normal and osculating maps for submanifolds of Rⁿ, «Proceedings of the Royal Society of Edinburgh», 114 A, 1990.

Some remarks on the second variation formula for the area, «Annals of global analysis and geometry», 11, n. 3, 1993, pp. 221-235.