Maria Gaetana Agnesi nasce a Milano il 16 maggio 1718 in una famiglia facoltosa di commercianti della seta. Contrariamente a quanto è stato scritto in passato, il padre Pietro (1690ca-1752) non era professore di matematica a Bologna, bensì un “uomo nuovo” della ricca borghesia milanese, che in quegli anni investiva le ricchezze familiari nel tentativo di elevare il proprio casato al rango patrizio mediante un generoso mecenatismo per arti, scienza e poesia. Un salotto di intellettuali italiani e stranieri presso il proprio palazzo e l’investimento nell’istruzione dei figli facevano parte della sua strategia di ascesa sociale.
In tale contesto, le figlie Maria Gaetana e Maria Teresa (1720-1795) vengono avviate fin da giovanissime allo studio delle lingue, la prima, al canto ed al clavicembalo, la seconda. Iniziano ben presto ad esibirsi per gli ospiti del padre.
Il salotto di palazzo Agnesi raccoglieva parecchi esponenti dell’illuminismo cattolico lombardo legati al movimento di riforma portato avanti da Antonio Ludovico Muratori (1672-1750) e appoggiato da papa Benedetto XIV durante il suo pontificato (1740-1758). Impegnati in una campagna per un nuovo rigore morale e per la partecipazione attiva dei fedeli alla società civile, questi ecclesiastici si proponevano di armonizzare ragione e fede anche attraverso l’introduzione delle nuove teorie scientifiche, come il sistema newtoniano e il calcolo infinitesimale.
La giovane Maria Gaetana si forma in questo ambiente. Prosegue la sua educazione con i migliori istitutori privati leggendo gli autori classici e testi di filosofia, di etica e di fisica. Nel 1738 pubblica una raccolta di 191 Propositiones philosophicae, presumibilmente un sommario, dove il sapere fisico-matematico giocava un ruolo di tutto rilievo delle ricerche filosofiche intraprese fino ad allora con il conte Carlo Belloni (cui le Propositiones sono dedicate), con Padre Francesco Manara, professore di Fisica sperimentale all’Università di Pavia, e Padre Michele Casati. In questo testo le scienze vengono presentate secondo una prospettiva apologetica dove solo le matematiche consentono una “conoscenza certa” e una “contemplazione intellettuale” infusa di spirito religioso. Con la pubblicazione delle Propositiones, che attestavano una discreta conoscenza di matematica, aumenta la notorietà di Maria Gaetana Agnesi; ospiti illustri dall’Italia e dall’Europa si recano presso il palazzo paterno per incontrarla.
Nello stesso periodo si accentua altresì la vena mistica della giovane, che si dedica sempre più alla meditazione ed alla vita spirituale. Nel 1739 manifesta la volontà di abbandonare l’attività mondana e la frequentazione dei salotti per prendere i voti: di fronte alle resistenze paterne la giovane acconsente ad un compromesso che le permetta di vivere un’esistenza ritirata senza entrare in convento, ma prestando opera di assistenza presso il reparto femminile dell’Ospedale Maggiore di Milano.
E’ del 1740 l’incontro con il monaco Ramiro Rampinelli (1697-1759), docente di matematica a Padova e formatosi a Bologna. Già dal 1735 l’Agnesi si era dedicata allo studio del manuale di calcolo differenziale del marchese Guillaume François de L’Hôpital (1661-1704) con l’intenzione di scriverne un commento ad uso didattico. Sotto la guida di Rampinelli affronta i lavori di Charles-Réné Reyneau (1656-1728), di Guido Grandi (1671-1742) e di Gabriele Manfredi (1681-1761), mentre entra in contatto con i matematici italiani che si occupavano allora del calcolo infinitesimale, in special modo con il conte Jacopo Riccati (1676-1754). Nel 1748 pubblica in due volumi le Instituzioni analitiche per uso della gioventù italiana: come indica il titolo, l’intento dell’autrice è divulgativo e didattico, in linea con quelle che erano le impostazioni di base del movimento del cattolicesimo illuminato di cui faceva parte. La lingua adottata quindi è l’italiano, in rottura con la tradizione manualistica dell’epoca in latino; lo stile è semplice e chiaro. Decide poi di trattare i principi dell’algebra, della geometria analitica e del calcolo infinitesimale in termini puramente geometrici, senza includere le applicazioni di tali discipline alla meccanica ed alla fisica sperimentale; un’interpretazione, questa, determinata forse dalla convinzione di una superiorità filosofica delle matematiche rispetto alle altre scienze.
Socia di varie accademie scientifiche, nel 1748 viene aggregata all’Accademia delle scienze di Bologna. Papa Benedetto XIV le fa assegnare nel 1750 l’incarico di lettrice onoraria di matematica all’Università di Bologna, che negli stessi anni vede tra i suoi docenti donne celebri come Laura Bassi; Agnesi accetta, ma non svolgerà mai il suo incarico.
Nel 1752, alla morte del padre abbandona, infatti, l’attività scientifica per dedicarsi alle opere caritatevoli ed al raccoglimento spirituale: pochi anni dopo lascia il palazzo di famiglia e si trasferisce presso le stanze dell’Ospedale Maggiore. Su richiesta dell’arcivescovo di Milano, il cardinale Pozzobonelli (1696-1783), assume nel 1771 la direzione del reparto femminile del Pio Albergo Trivulzio. Il suo impegno si manifesta anche nel suo incarico di consigliera di materie teologiche dello stesso arcivescovo, che nel 1768 la nomina “priora della dottrina cristiana”, incarico legato all’opera di catechizzazione del popolo.  Muore nel 1799.

Il manuale di introduzione all’algebra, alla geometria cartesiana e al calcolo infinitesimale di Maria Gaetana Agnesi è stato il primo testo di matematica pubblicato da una donna.  Le Instituzioni analitiche per uso della gioventù italiana, stampate in due volumi nel 1748 a Milano, sono state un testo di riferimento per lo studio di tali materie per tutta la seconda metà del Settecento in Europa, in quanto ne fornivano un’introduzione dettagliata e completa e, nel contempo, semplice e adatta allo studio dei principianti. Il secondo volume delle Instituzioni fu tradotto in francese nel 1775 col titolo Traités élémentaires de calcul différentiel et de calcul intégral; l’intera opera fu tradotta in inglese da John Colson (1680-1760), Lucasian professor all’Università di Cambridge, e pubblicata postuma nel 1801 col titolo Analytical Institutions.

Maria Gaetana Agnesi ha spesso rappresentato un «enigma psicologico» [Anzoletti, 1901, p. 340] per chi ha scritto di lei; Charles de Brosses (1709-1777), che ne scrisse nelle sue Lettere, era rimasto colpito dal suo «meraviglioso conversare in argomenti tanto astratti» e la sua «affezione alla filosofia di Newton» [Mazzotti, 2007, p. 156]. Secondo Pietro Verri (1728-1797) «ritrovava spesse volte nei sogni la soluzione dei problemi più ardui e l’invenzione de’ metodi più semplici ed eleganti» [Vettori Sandor, 1988, p. 105].
Il fisico astronomo Jean-Jacques Dortous De Mairan e l’ingegnere matematico Étienne De Montigny firmano nel 1749 la recensione alle Instituzioni nei Registri dell’Accademia reale delle scienze di Parigi, sostenendo che «l’ordine, la chiarezza, la precisione regnano in tutte le parti di quest’Opera». E aggiungono, raccomandandone la traduzione in francese: «Non c'è alcun altro testo, in qualsiasi lingua, che permetta di penetrare così in fretta e così in profondità nei concetti fondamentali dell'Analisi: lo consideriamo il trattato più completo e ben fatto che ci sia in questo genere» [Vettori Sandor, 1988, p. 108].
Carlo Goldoni, nella sua commedia Il medico olandese, rappresentata per la prima volta a Milano nel 1756, dedica alla matematica milanese autrice di un «Certo libro italiano/Che tratta delle Analisi»  i seguenti versi:

«Stupitevi piuttosto, che con saper profondo
Prodotto abbia una donna un sì gran libro al mondo.
È italiana l’autrice, signor, non è olandese,
Donna illustre, sapiente, che onora il suo paese;
Ma se trovansi altrove scarsi i seguaci suoi,
Ammirasi il gran libro, e studiasi da noi»
[Goldoni, 1827, pp. 230-231]